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2011湖南高考卷解析(文科数学)

2011-06-24 10:01:05 浏览:14716

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文史类

                

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟,满分150分.

参考公式(1)柱体体积公式,其中为底面面积,为高.

         2)球的体积公式,其中为球的半径.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设全集   

A   B   C.    D.

答案:B

解析:画出韦恩图,可知

2.若为虚数单位,且,则

A.   B.  C.  D.

答案:C

解析:因,根据复数相等的条件可知

3.

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件          D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:因,反之

,不一定有

4.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

A   B.

C.  D.

答案:D

解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积

5.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

总计

爱好

40

20

60

不爱好

20

30

50

总计

60

50

110

附表:

0050

0010

0001

3841

6635

10828

参照附表,得到的正确结论是(   

A. 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过01%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过01%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

答案:A

解析:由,而,故由独立性检验的意义可知选A.

6.设双曲线的渐近线方程为的值为(   

A4   B3   C2    D1

答案:C

解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知

7.曲线在点处的切线的斜率为(   

A    B     C      D

答案:B

解析:,所以

8.已知函数若有的取值范围为

A    B  C    D

答案:B

解析:由题可知,若有,即,解得

二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题解分,共青团员5分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

(一)选做题(请考生在第910两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)

9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为的交点个数为        

答案:2

解析:曲线,曲线,联立方程消,易得,故有2个交点。

10.已知某试验范围为[1090],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是        

答案:4060(只填一个也正确)

解析:有区间长度为80,可以将其等分8段,利用分数法选取试点:,由对称性可知,第二次试点可以是4060

()必做题(11-16题)

11.若执行如图2所示的框图,输入则输出的数等于        

答案:

解析:由框图功能可知,输出的数等于

12.已知为奇函数,        

答案:6

解析:

为奇函数,所以

13.设向量满足的方向相反,则的坐标为        

答案:

解析:由题,所以

14.设在约束条件下,目标函数的最大值为4,则的值为        

答案:3

解析:画出可行域,可知在点取最大值为4,解得

15.已知圆直线

1)圆的圆心到直线的距离为        

(2) 上任意一点到直线的距离小于2的概率为        

答案:5

解析:(1)由点到直线的距离公式可得

2)由(1)可知圆心到直线的距离为5,要使圆上点到直线的距离小于2,即与圆相交所得劣弧上,由半径为,圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为,故所求概率为.

16、给定,设函数满足:对于任意大于的正整数

1)设,则其中一个函数处的函数值为           

2)设,且当时,,则不同的函数的个数为           

答案:(1,(216

解析:(1)由题可知,而时,,故只须,故

2)由题可知,而时,,即,由乘法原理可知,不同的函数的个数为

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

中,角所对的边分别为且满足

I)求角的大小;

II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.

解析:(I)由正弦定理得

因为所以

II)由(I)知于是

        

取最大值2

综上所述,的最大值为2,此时

18.(本题满分12分)

某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460X每增加10Y增加5;已知近20X的值为:14011016070200160140160220200110160160200140110160220140160

I)完成如下的频率分布表:

                20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

70

110

140

160

200

220

频率

II)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

解:(I)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量

70

110

140

160

200

220

频率

II

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为

19.(本题满分12分)

如图3,在圆锥中,已知的直径的中点.

I)证明:

II)求直线和平面所成角的正弦值.

解析:(I)因为

内的两条相交直线,所以

II)由(I)知,所以平面在平面中,过连结,则上的射影,所以是直线和平面所成的角.

20.(本题满分13分)

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备MM的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%

I)求第n年初M的价值的表达式;

II)设大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须在第9年初对M更新.

解析:(I)当时,数列是首项为120,公差为的等差数列.

          

时,数列是以为首项,公比为为等比数列,又,所以

          

因此,第年初,M的价值的表达式为

(II)表示数列的前项和,由等差及等比数列的求和公式得

时,

时,

因为是递减数列,所以是递减数列,又

所以须在第9年初对M更新.

21.已知平面内一动点到点F10)的距离与点轴的距离的等等于1

I)求动点的轨迹的方程;

II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点与轨迹相交于点,求的最小值.

解析:(I)设动点的坐标为,由题意为

化简得

所以动点P的轨迹C的方程为

II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为

,得

是上述方程的两个实根,于是

    

因为,所以的斜率为

则同理可得

当且仅当时,取最小值16

22.(本小题13分)

设函数

(I)讨论的单调性;

II)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.

解析:(I的定义域为

       

(1)    上单调递增.

(2)    的两根都小于0,在上,,故上单调递增.

(3)    的两根为

时, ;当时, ;当时, ,故分别在上单调递增,在上单调递减.

II)由(I)知,

因为,所以

又由(I)知,.于是

若存在,使得.即.亦即

再由(I)知,函数上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得

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