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2011湖南高考卷解析(理科数学)

2011-06-24 09:52:53 浏览:18783

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分。

参考公式:(1 ,其中 为两个事件,且

         2)柱体体积公式 ,其中 为底面面积, 为高。

         3)球的体积公式 ,其中 为求的半径。

一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。

1.为虚数单位,且,则(    

A   B   C   D  

答案:D

解析:,根据复数相等的条件可知

2.,则“”是“”则(    

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充分必要条件   D.既不充分又不必要条件  

答案:A

解析:因“”,即,满足“”,反之“”,则,或,不一定有“”。

3.设图一是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(    

A   B  

C   D  

答案:B

解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积

4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

总计

爱好

40

20

60

不爱好

20

30

50

总计

60

50

110

算得

附表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

参照附表,得到的正确结论是(    

A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

答案:C

解析:,而,故由独立性检验的意义可知选C.

5.设双曲线的渐近线方程为,则的值为(    

A4      B3       C2       D1

答案:C

解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知

6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为(   

A      B1       C      D

答案:D

解析:由定积分知识可得,故选D

7. ,在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为(   

A      B      C      D

答案:A

解析:画出可行域,可知在点取最大值,由解得

8.设直线与函数的图像分别交于点,则当达到最小时的值为(   

A1      B      C      D

答案:D

解析:由题不妨令,则,令解得,因时,,当时,,所以当时,达到最小。即

    

二填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

一、选做题(请考生在第91011三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

9.在直角坐标系 中,曲线C1的参数方程为  为参数)在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以 轴正半轴为极轴)中,曲线 的方程为 ,则  的交点个数为    

答案:2

解析:曲线  ,由圆心到直线的距离 ,故  的交点个数为2.

10. , 的最小值为        

答案:9

解析:由柯西不等式可知

 11.如图2 是半圆周上的两个三等分点,直径

 ,垂足为D,   相交与点F,则的长为        

答案:

解析:由题可知,  , ,

,所以.

二、必做题(12~16题)

12、设是等差数列的前项和,且,则

答案:25

解析:由可得,所以

13、若执行如图3所示的框图,输入,则输出的数等于       

答案:

解析:由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,

14、在边长为1的正三角形中,设,则

答案:

解析:由题

所以

 15、如图4 是以为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形内”,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”,则

1;(2

答案:(1;(2

解析:(1)由几何概型概率计算公式可得

2)由条件概率的计算公式可得

16、对于,将表示为,当时,,当时,01.为上述表示中0的个数,(例如:故)则

1   2

答案:(12;(2

解析:(1)因,故

2)在2进制的位数中,没有0的有1个,有10的有个,有20的有个,……有0的有个,……有0的有个。故对所有2进制为位数的数,在所求式中的的和为:

恰为2进制的最大7位数,所以

三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,且满足.

I)求角的大小;

II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.

解析:(I)由正弦定理得

因为所以

II)由(I)知于是

        

取最大值2

综上所述,的最大值为2,此时

18. 某商店试销某种商品20天,获得如下数据:

日销售量(件)

0

1

2

3

频数

1

5

9

5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充3件,否则不进货,将频率视为概率。

()求当天商品不进货的概率;

Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望。

解析:(IP(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量1件”)=

II)由题意知,的可能取值为23.

的分布列为

2

3

的数学期望为

19.(本题满分12分)如图5,在圆锥中,已知的直径的中点.

I)证明:

II)求二面角的余弦值.

解:(I)连接,因为,为的中点,所以.

因为内的两条相交直线,所以,所以

II)在平面中,过,由(I)知,,所以所以.

在平面中,过连接,则有

从而,所以是二面角的平面角.

,所以

故二面角的余弦值为

20. 如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为 ,雨速沿E移动方向的分速度为 E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1PP的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 ×S成正比,比例系数为 ;(2)其它面的淋雨量之和,其值为 ,记 E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S= 时。

(Ⅰ)写出 的表达式

(Ⅱ)设0v10,0c5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度 ,使总淋雨量 最少。

解析:(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为

 .

II)由(I)知,当 时,

 时,

(1) 时, 是关于 的减函数.故当 时,

(2)  时,在 上, 是关于 的减函数;在 上, 是关于 的增函数;故当 时,

21. (本小题满分13分)

  如图7,椭圆 的离心率为  轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长。

(Ⅰ)求  的方程;

(Ⅱ)设  轴的交点为M,过坐标原点O的直线  相交于点A,B,直线MA,MB分别与 相交与D,E.

i)证明:

(ii)记△MAB,MDE的面积分别是 .问:是否存在直线 ,使得 = ?

请说明理由。

解析:(I)由题意知 ,从而 ,又,解得

  的方程分别为

II)(i由题意知,直线 的斜率存在,设为 ,则直线 的方程为 .

 ,则 是上述方程的两个实根,于是

又点 的坐标为 ,所以

 ,即

ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由 解得  ,则点的坐标为

又直线的斜率为 ,同理可得点B的坐标为.

于是

解得 则点的坐标为

又直线的斜率为,同理可得点的坐标

于是

因此

由题意知,解得 

又由点的坐标可知,所以

故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为

22.(本小题满分13分)

  已知函数 ( ) = g ( )= +

 )求函数h ( )= ( )-g ( )的零点个数,并说明理由;

 Ⅱ)设数列 满足  ,证明:存在常数M,使得对于任意的,都有 ≤  .

解析:(I)由 知,  ,且   一个零点,且  内有零点,因此 至少有两个零点

解法1  ,则

 时, 因此  上单调递增,则  至多只有一个零点。又因为 ,则  内有零点,所以  内有且只有一个零点。记此零点为 ,则当 时, ;当 时,

所以,

 时, 单调递减,而 ,则  内无零点;

 时, 单调递增,则  内至多只有一个零点;

从而  内至多只有一个零点。综上所述, 有且只有两个零点。

解法2  ,则

 时, 因此  上单调递增,则  至多只有一个零点。因此  内也至多只有一个零点,

综上所述, 有且只有两个零点。

II)记 的正零点为 ,即

1)当 时,由 ,即 . ,因此 ,由此猜测: 。下面用数学归纳法证明:

①当 时, 显然成立;

②假设当 时,有 成立,则当 时,由

 知, ,因此,当 时, 成立。

故对任意的  成立。

2)当 时,由(1)知,  上单调递增。则 ,即 。从而 ,即 ,由此猜测: 。下面用数学归纳法证明:

①当 时, 显然成立;

②假设当 时,有 成立,则当 时,由

 知, ,因此,当 时, 成立。

故对任意的  成立。

综上所述,存在常数 ,使得对于任意的 ,都有 .

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